求解 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 5x^{2}+ax+bx-42。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -210 的所有此类整数对。

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

计算每对之和。

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

该解答是总和为 -29 的对。

$$a=-35 b=6$$

将 5x^{2}-29x-42 改写为 \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)。

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

将 5x 放在第二个组中的第一个和 6 中。

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-7。

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

若要找到方程解，请解 x-7=0 和 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}-29x-42=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-29 替换 b，并用 -42 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

对 -29 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -42 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

将 840 加上 841。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

取 1681 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29 的相反数是 29。

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{29±41}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{29±41}{10} 的解。 将 41 加上 29。

$$x=\frac{70}{10}$$

70 除以 10。

$$x=7$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{29±41}{10} 的解。 将 29 减去 41。

$$x=-\frac{12}{10}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-12}{10} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{6}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}-29x-42=0$$

在等式两边同时加 42。

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42 减去它自己得 0。

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

将 0 减去 -42。

$$5x^{2}-29x=42$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

将 x 项的系数 -\frac{29}{5} 除以 2 得 -\frac{29}{10}。然后在等式两边同时加上 -\frac{29}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

对 -\frac{29}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

将 \frac{841}{100} 加上 \frac{42}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

因数 x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

化简。

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{29}{10}。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$