求解 5x^2-24x+156=0

$$5 { x }^{ 2 } -24x+156=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{12+2\sqrt{159}i}{5}\approx 2.4+5.043808085i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{159}i+12}{5}\approx 2.4-5.043808085i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}-24x+156=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-24 替换 b，并用 156 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\times 156}}{2\times 5}$$

对 -24 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\times 156}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\times 156}}{2\times 5}$$

求 -20 与 156 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-3120}}{2\times 5}$$

将 -3120 加上 576。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-2544}}{2\times 5}$$

取 -2544 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±4\sqrt{159}i}{2\times 5}$$

-24 的相反数是 24。

$$x=\frac{24±4\sqrt{159}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{24±4\sqrt{159}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{24±4\sqrt{159}i}{10} 的解。 将 4i\sqrt{159} 加上 24。

$$x=\frac{24+4\sqrt{159}i}{10}$$

24+4i\sqrt{159} 除以 10。

$$x=\frac{12+2\sqrt{159}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{24±4\sqrt{159}i}{10} 的解。 将 24 减去 4i\sqrt{159}。

$$x=\frac{-4\sqrt{159}i+24}{10}$$

24-4i\sqrt{159} 除以 10。

$$x=\frac{-2\sqrt{159}i+12}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{12+2\sqrt{159}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{159}i+12}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}-24x+156=0$$

将等式的两边同时减去 156。

$$5x^{2}-24x+156-156=-156$$

156 减去它自己得 0。

$$5x^{2}-24x=-156$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-24x}{5}=-\frac{156}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x=-\frac{156}{5}$$

将 x 项的系数 -\frac{24}{5} 除以 2 得 -\frac{12}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{12}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}=-\frac{156}{5}+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}$$

对 -\frac{12}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=-\frac{156}{5}+\frac{144}{25}$$

将 \frac{144}{25} 加上 -\frac{156}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=-\frac{636}{25}$$

因数 x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}=-\frac{636}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{636}{25}}$$

化简。

$$x-\frac{12}{5}=\frac{2\sqrt{159}i}{5} x-\frac{12}{5}=-\frac{2\sqrt{159}i}{5}$$

在等式两边同时加 \frac{12}{5}。

$$x=\frac{12+2\sqrt{159}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{159}i+12}{5}$$