求解 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0.5+1.24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.24498996i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+5x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，5 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

求 -20 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

将 -180 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

取 -155 的平方根。

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} 的解。 将 i\sqrt{155} 加上 -5。

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

-5+i\sqrt{155} 除以 10。

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} 的解。 将 -5 减去 i\sqrt{155}。

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

-5-i\sqrt{155} 除以 10。

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+5x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+5x=-9$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

5 除以 5。

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -\frac{9}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$