求解 5x^2+4x+85=0

$$5 { x }^{ 2 } +4x+85=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5}\approx -0.4+4.103656906i$$

$$x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}\approx -0.4-4.103656906i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+4x+85=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，4 替换 b，并用 85 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 85}}{2\times 5}$$

求 -20 与 85 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-1700}}{2\times 5}$$

将 -1700 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{-1684}}{2\times 5}$$

取 -1684 的平方根。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10} 的解。 将 2i\sqrt{421} 加上 -4。

$$x=\frac{-4+2\sqrt{421}i}{10}$$

-4+2i\sqrt{421} 除以 10。

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10} 的解。 将 -4 减去 2i\sqrt{421}。

$$x=\frac{-2\sqrt{421}i-4}{10}$$

-4-2i\sqrt{421} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5} x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+4x+85=0$$

将等式的两边同时减去 85。

$$5x^{2}+4x+85-85=-85$$

85 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+4x=-85$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{85}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{85}{5}$$

-85 除以 5。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-17$$

将 x 项的系数 \frac{4}{5} 除以 2 得 \frac{2}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-17+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-17+\frac{4}{25}$$

将 \frac{4}{25} 加上 -17。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{421}{25}$$

因数 x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{421}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{421}{25}}$$

化简。

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{421}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{421}i}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{5}。

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5} x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$