求解 5x^2+12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } +12x-7=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5}\approx 0.485229955$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}\approx -2.885229955$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+12x-7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，12 替换 b，并用 -7 替换 c。

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

对 12 进行平方运算。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -7 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

将 140 加上 144。

$$x=\frac{-12±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

取 284 的平方根。

$$x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{10} 的解。 将 2\sqrt{71} 加上 -12。

$$x=\frac{2\sqrt{71}-12}{10}$$

-12+2\sqrt{71} 除以 10。

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{10} 的解。 将 -12 减去 2\sqrt{71}。

$$x=\frac{-2\sqrt{71}-12}{10}$$

-12-2\sqrt{71} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+12x-7=0$$

在等式两边同时加 7。

$$5x^{2}+12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+12x=-\left(-7\right)$$

将 0 减去 -7。

$$5x^{2}+12x=7$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+12x}{5}=\frac{7}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

将 x 项的系数 \frac{12}{5} 除以 2 得 \frac{6}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{6}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{6}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

将 \frac{36}{25} 加上 \frac{7}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

因数 x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

化简。

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{6}{5}。

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}$$