求解 5=10t+5t^2

$$5 = 10 t + 5 t ^ { 2 }$$

求解 t 的值

$$t=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$t=-\sqrt{2}-1\approx -2.414213562$$

运用二次公式的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$10t+5t^{2}=5$$

将方程式两边同时减去 5。

$$10t+5t^{2}-5=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5t^{2}+10t-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，10 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

对 10 进行平方运算。

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -5 的乘积。

$$t=\frac{-10±\sqrt{100+100}}{2\times 5}$$

将 100 加上 100。

$$t=\frac{-10±\sqrt{200}}{2\times 5}$$

取 200 的平方根。

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} 的解。 将 10\sqrt{2} 加上 -10。

$$t=\frac{10\sqrt{2}-10}{10}$$

-10+10\sqrt{2} 除以 10。

$$t=\sqrt{2}-1$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} 的解。 将 -10 减去 10\sqrt{2}。

$$t=\frac{-10\sqrt{2}-10}{10}$$

-10-10\sqrt{2} 除以 10。

$$t=-\sqrt{2}-1$$

现已求得方程式的解。

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$

使用配方法的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$10t+5t^{2}=5$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5t^{2}+10t=5$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5t^{2}+10t}{5}=\frac{5}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$t^{2}+\frac{10}{5}t=\frac{5}{5}$$

10 除以 5。

$$t^{2}+2t=\frac{5}{5}$$

5 除以 5。

$$t^{2}+2t=1$$

将 x 项的系数 2 除以 2 得 1。然后在等式两边同时加上 1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}+2t+1^{2}=1+1^{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$t^{2}+2t+1=1+1$$

将 1 加上 1。

$$t^{2}+2t+1=2$$

因数 t^{2}+2t+1。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t+1\right)^{2}=2$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

化简。

$$t+1=\sqrt{2} t+1=-\sqrt{2}$$

将等式的两边同时减去 1。

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$