求解 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0.306122449+0.645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0.306122449-0.645362788i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$49x^{2}+30x+25=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 49 替换 a，30 替换 b，并用 25 替换 c。

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

对 30 进行平方运算。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

求 -4 与 49 的乘积。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

求 -196 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

将 -4900 加上 900。

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

取 -4000 的平方根。

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

求 2 与 49 的乘积。

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} 的解。 将 20i\sqrt{10} 加上 -30。

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

-30+20i\sqrt{10} 除以 98。

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} 的解。 将 -30 减去 20i\sqrt{10}。

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

-30-20i\sqrt{10} 除以 98。

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$49x^{2}+30x+25=0$$

将等式的两边同时减去 25。

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

25 减去它自己得 0。

$$49x^{2}+30x=-25$$

两边同时除以 49。

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

除以 49 是乘以 49 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

将 x 项的系数 \frac{30}{49} 除以 2 得 \frac{15}{49}。然后在等式两边同时加上 \frac{15}{49} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

对 \frac{15}{49} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

将 \frac{225}{2401} 加上 -\frac{25}{49}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

因数 x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

化简。

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

将等式的两边同时减去 \frac{15}{49}。

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$