求解 49x^2-37x-1=0

$$49 { x }^{ 2 } -37x-1=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98}\approx 0.781225315$$

$$x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}\approx -0.026123274$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$49x^{2}-37x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 49 替换 a，-37 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{\left(-37\right)^{2}-4\times 49\left(-1\right)}}{2\times 49}$$

对 -37 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-4\times 49\left(-1\right)}}{2\times 49}$$

求 -4 与 49 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-196\left(-1\right)}}{2\times 49}$$

求 -196 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369+196}}{2\times 49}$$

将 196 加上 1369。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1565}}{2\times 49}$$

-37 的相反数是 37。

$$x=\frac{37±\sqrt{1565}}{2\times 49}$$

求 2 与 49 的乘积。

$$x=\frac{37±\sqrt{1565}}{98}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{37±\sqrt{1565}}{98} 的解。 将 \sqrt{1565} 加上 37。

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{37±\sqrt{1565}}{98} 的解。 将 37 减去 \sqrt{1565}。

$$x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98} x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$49x^{2}-37x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$49x^{2}-37x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$49x^{2}-37x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$49x^{2}-37x=1$$

两边同时除以 49。

$$\frac{49x^{2}-37x}{49}=\frac{1}{49}$$

除以 49 是乘以 49 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{37}{49}x=\frac{1}{49}$$

将 x 项的系数 -\frac{37}{49} 除以 2 得 -\frac{37}{98}。然后在等式两边同时加上 -\frac{37}{98} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{37}{49}x+\left(-\frac{37}{98}\right)^{2}=\frac{1}{49}+\left(-\frac{37}{98}\right)^{2}$$

对 -\frac{37}{98} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{37}{49}x+\frac{1369}{9604}=\frac{1}{49}+\frac{1369}{9604}$$

将 \frac{1369}{9604} 加上 \frac{1}{49}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{37}{49}x+\frac{1369}{9604}=\frac{1565}{9604}$$

因数 x^{2}-\frac{37}{49}x+\frac{1369}{9604}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{37}{98}\right)^{2}=\frac{1565}{9604}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1565}{9604}}$$

化简。

$$x-\frac{37}{98}=\frac{\sqrt{1565}}{98} x-\frac{37}{98}=-\frac{\sqrt{1565}}{98}$$

在等式两边同时加 \frac{37}{98}。

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98} x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}$$