求解 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 42x^{2}+ax+bx-3。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -126 的所有此类整数对。

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

计算每对之和。

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

该解答是总和为 -5 的对。

$$a=-14 b=9$$

将 42x^{2}-5x-3 改写为 \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)。

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

将 14x 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-1。

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-1=0 和 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$42x^{2}-5x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 42 替换 a，-5 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

求 -4 与 42 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

求 -168 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

将 504 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

取 529 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

求 2 与 42 的乘积。

$$x=\frac{5±23}{84}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±23}{84} 的解。 将 23 加上 5。

$$x=\frac{28}{84}$$

通过求根和消去 28，将分数 \frac{28}{84} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±23}{84} 的解。 将 5 减去 23。

$$x=-\frac{18}{84}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-18}{84} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{3}{14}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$42x^{2}-5x-3=0$$

在等式两边同时加 3。

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

将 0 减去 -3。

$$42x^{2}-5x=3$$

两边同时除以 42。

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

除以 42 是乘以 42 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{3}{42} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{42} 除以 2 得 -\frac{5}{84}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{84} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{84} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

将 \frac{25}{7056} 加上 \frac{1}{14}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{84}。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$