求解 42x^2+13x-35=0

$$42 x ^ { 2 } + 13 x - 35 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84}\approx 0.771134731$$

$$x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}\approx -1.080658541$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$42x^{2}+13x-35=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 42 替换 a，13 替换 b，并用 -35 替换 c。

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 42\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

对 13 进行平方运算。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 42\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

求 -4 与 42 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-168\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

求 -168 与 -35 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+5880}}{2\times 42}$$

将 5880 加上 169。

$$x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{2\times 42}$$

求 2 与 42 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84} 的解。 将 \sqrt{6049} 加上 -13。

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84} 的解。 将 -13 减去 \sqrt{6049}。

$$x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84} x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$42x^{2}+13x-35=0$$

在等式两边同时加 35。

$$42x^{2}+13x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

-35 减去它自己得 0。

$$42x^{2}+13x=-\left(-35\right)$$

将 0 减去 -35。

$$42x^{2}+13x=35$$

两边同时除以 42。

$$\frac{42x^{2}+13x}{42}=\frac{35}{42}$$

除以 42 是乘以 42 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{13}{42}x=\frac{35}{42}$$

通过求根和消去 7，将分数 \frac{35}{42} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{13}{42}x=\frac{5}{6}$$

将 x 项的系数 \frac{13}{42} 除以 2 得 \frac{13}{84}。然后在等式两边同时加上 \frac{13}{84} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\left(\frac{13}{84}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{13}{84}\right)^{2}$$

对 \frac{13}{84} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}=\frac{5}{6}+\frac{169}{7056}$$

将 \frac{169}{7056} 加上 \frac{5}{6}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}=\frac{6049}{7056}$$

因数 x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{13}{84}\right)^{2}=\frac{6049}{7056}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6049}{7056}}$$

化简。

$$x+\frac{13}{84}=\frac{\sqrt{6049}}{84} x+\frac{13}{84}=-\frac{\sqrt{6049}}{84}$$

将等式的两边同时减去 \frac{13}{84}。

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84} x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$