求解 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1.418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0.772078574$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$419x^{2}-918x+459=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 419 替换 a，-918 替换 b，并用 459 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

对 -918 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

求 -4 与 419 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

求 -1676 与 459 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

将 -769284 加上 842724。

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

取 73440 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

-918 的相反数是 918。

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

求 2 与 419 的乘积。

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} 的解。 将 12\sqrt{510} 加上 918。

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

918+12\sqrt{510} 除以 838。

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} 的解。 将 918 减去 12\sqrt{510}。

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

918-12\sqrt{510} 除以 838。

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$419x^{2}-918x+459=0$$

将等式的两边同时减去 459。

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

459 减去它自己得 0。

$$419x^{2}-918x=-459$$

两边同时除以 419。

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

除以 419 是乘以 419 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

将 x 项的系数 -\frac{918}{419} 除以 2 得 -\frac{459}{419}。然后在等式两边同时加上 -\frac{459}{419} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

对 -\frac{459}{419} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

将 \frac{210681}{175561} 加上 -\frac{459}{419}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

因数 x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

化简。

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

在等式两边同时加 \frac{459}{419}。

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$