求解 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 40x^{2}+ax+bx+1。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 40 的所有此类整数对。

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

计算每对之和。

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

该解答是总和为 -14 的对。

$$a=-10 b=-4$$

将 40x^{2}-14x+1 改写为 \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)。

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

将 10x 放在第二个组中的第一个和 -1 中。

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 4x-1。

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

若要找到方程解，请解 4x-1=0 和 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$40x^{2}-14x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 40 替换 a，-14 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

对 -14 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

求 -4 与 40 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

将 -160 加上 196。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

取 36 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14 的相反数是 14。

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

求 2 与 40 的乘积。

$$x=\frac{14±6}{80}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{14±6}{80} 的解。 将 6 加上 14。

$$x=\frac{20}{80}$$

通过求根和消去 20，将分数 \frac{20}{80} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{14±6}{80} 的解。 将 14 减去 6。

$$x=\frac{8}{80}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{8}{80} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$40x^{2}-14x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$40x^{2}-14x=-1$$

两边同时除以 40。

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

除以 40 是乘以 40 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-14}{40} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{20} 除以 2 得 -\frac{7}{40}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{40} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{40} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

将 \frac{49}{1600} 加上 -\frac{1}{40}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

因数 x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{40}。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$