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求解 z 的值
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4z^{2}+60z=800
形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解,方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解,一个是当 ± 取加号时的解,另一个是取减号时的解。
4z^{2}+60z-800=800-800
将等式的两边同时减去 800。
4z^{2}+60z-800=0
800 减去它自己得 0。
z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}
此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a,60 替换 b,并用 -800 替换 c。
z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}
对 60 进行平方运算。
z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}
求 -4 与 4 的乘积。
z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}
求 -16 与 -800 的乘积。
z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}
将 12800 加上 3600。
z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}
取 16400 的平方根。
z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}
求 2 与 4 的乘积。
z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}
现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} 的解。 将 20\sqrt{41} 加上 -60。
z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}
-60+20\sqrt{41} 除以 8。
z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}
现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} 的解。 将 -60 减去 20\sqrt{41}。
z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}
-60-20\sqrt{41} 除以 8。
z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}
现已求得方程式的解。
4z^{2}+60z=800
这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式,等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。
\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}
两边同时除以 4。
z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}
除以 4 是乘以 4 的逆运算。
z^{2}+15z=\frac{800}{4}
60 除以 4。
z^{2}+15z=200
800 除以 4。
z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}
将 x 项的系数 15 除以 2 得 \frac{15}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{15}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。
z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}
对 \frac{15}{2} 进行平方运算,方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。
z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}
将 \frac{225}{4} 加上 200。
\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}
因数 z^{2}+15z+\frac{225}{4}。一般说来,当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时,它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}
对方程两边同时取平方根。
z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}
化简。
z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}
将等式的两边同时减去 \frac{15}{2}。