求解 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

求解 y 的值

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1.593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0.156929669$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4y^{2}-7y+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-7 替换 b，并用 1 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

对 -7 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

将 -16 加上 49。

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

-7 的相反数是 7。

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} 的解。 将 \sqrt{33} 加上 7。

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} 的解。 将 7 减去 \sqrt{33}。

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4y^{2}-7y+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$4y^{2}-7y=-1$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{4} 除以 2 得 -\frac{7}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

将 \frac{49}{64} 加上 -\frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

因数 y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

化简。

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{8}。

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$