求解 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

求解 y 的值

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15.717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1.717797887$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4y^{2}-56y=108$$

将等式的两边同时减去 108。

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

108 减去它自己得 0。

$$4y^{2}-56y-108=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-56 替换 b，并用 -108 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

对 -56 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -108 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

将 1728 加上 3136。

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

取 4864 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

-56 的相反数是 56。

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} 的解。 将 16\sqrt{19} 加上 56。

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

56+16\sqrt{19} 除以 8。

$$y=2\sqrt{19}+7$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} 的解。 将 56 减去 16\sqrt{19}。

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

56-16\sqrt{19} 除以 8。

$$y=7-2\sqrt{19}$$

现已求得方程式的解。

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4y^{2}-56y=108$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

-56 除以 4。

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

108 除以 4。

$$y^{2}-14y=27$$

将 x 项的系数 -14 除以 2 得 -7。然后在等式两边同时加上 -7 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

对 -7 进行平方运算。

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

将 49 加上 27。

$$y^{2}-14y+49=76$$

因数 y^{2}-14y+49。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

化简。

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

在等式两边同时加 7。

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$