求解 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx-5。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -20 的所有此类整数对。

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

计算每对之和。

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

该解答是总和为 -1 的对。

$$a=-5 b=4$$

将 4x^{2}-x-5 改写为 \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)。

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

从 4x^{2}-5x 分解出因子 x。

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

通过使用分布式属性分解出共同项 4x-5。

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

若要找到方程解，请解 4x-5=0 和 x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-1 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

将 80 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

取 81 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

-1 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{1±9}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±9}{8} 的解。 将 9 加上 1。

$$x=\frac{10}{8}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{10}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{5}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±9}{8} 的解。 将 1 减去 9。

$$x=-\frac{8}{8}$$

-8 除以 8。

$$x=-1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-x-5=0$$

在等式两边同时加 5。

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

将 0 减去 -5。

$$4x^{2}-x=5$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{4} 除以 2 得 -\frac{1}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

将 \frac{1}{64} 加上 \frac{5}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

因数 x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{8}。

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$