求解 4x^2-7x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 9 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{193} + 7}{8} \approx 2.611555499$$

$$x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}\approx -0.861555499$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-7x-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-7 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

对 -7 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+144}}{2\times 4}$$

将 144 加上 49。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{193}}{2\times 4}$$

-7 的相反数是 7。

$$x=\frac{7±\sqrt{193}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{7±\sqrt{193}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{193}}{8} 的解。 将 \sqrt{193} 加上 7。

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{193}}{8} 的解。 将 7 减去 \sqrt{193}。

$$x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-7x-9=0$$

在等式两边同时加 9。

$$4x^{2}-7x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-7x=-\left(-9\right)$$

将 0 减去 -9。

$$4x^{2}-7x=9$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{9}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{9}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{4} 除以 2 得 -\frac{7}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{9}{4}+\frac{49}{64}$$

将 \frac{49}{64} 加上 \frac{9}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{193}{64}$$

因数 x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{193}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{193}{64}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{193}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{193}}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{8}。

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$