求解 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx+1。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 4 的所有此类整数对。

$$-1,-4 -2,-2$$

计算每对之和。

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

该解答是总和为 -5 的对。

$$a=-4 b=-1$$

将 4x^{2}-5x+1 改写为 \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)。

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

将 4x 放在第二个组中的第一个和 -1 中。

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

若要找到方程解，请解 x-1=0 和 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-5x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-5 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

将 -16 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

取 9 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{5±3}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±3}{8} 的解。 将 3 加上 5。

$$x=\frac{8}{8}$$

8 除以 8。

$$x=1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±3}{8} 的解。 将 5 减去 3。

$$x=\frac{2}{8}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{2}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-5x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-5x=-1$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{4} 除以 2 得 -\frac{5}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

将 \frac{25}{64} 加上 -\frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{8}。

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$