求解 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4.054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0.554886114$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-14x=9$$

将等式的两边同时减去 9。

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

9 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-14x-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-14 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

对 -14 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

将 144 加上 196。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

取 340 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

-14 的相反数是 14。

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} 的解。 将 2\sqrt{85} 加上 14。

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

14+2\sqrt{85} 除以 8。

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} 的解。 将 14 减去 2\sqrt{85}。

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

14-2\sqrt{85} 除以 8。

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-14x=9$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-14}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{2} 除以 2 得 -\frac{7}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

将 \frac{49}{16} 加上 \frac{9}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

因数 x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$