求解 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx-27。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -108 的所有此类整数对。

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

计算每对之和。

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

该解答是总和为 -12 的对。

$$a=-18 b=6$$

将 4x^{2}-12x-27 改写为 \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)。

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-9。

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-9=0 和 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-12x-27=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-12 替换 b，并用 -27 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

对 -12 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -27 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

将 432 加上 144。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

取 576 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 的相反数是 12。

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{12±24}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{12±24}{8} 的解。 将 24 加上 12。

$$x=\frac{36}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{36}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{9}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{12±24}{8} 的解。 将 12 减去 24。

$$x=-\frac{12}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-12}{8} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-12x-27=0$$

在等式两边同时加 27。

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

将 0 减去 -27。

$$4x^{2}-12x=27$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12 除以 4。

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 \frac{27}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

因数 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

化简。

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$