求解 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-11x+30=16$$

将等式的两边同时减去 16。

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

16 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

将 30 减去 16。

$$4x^{2}-11x+14=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-11 替换 b，并用 14 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

对 -11 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

求 -16 与 14 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

将 -224 加上 121。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

取 -103 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 的相反数是 11。

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} 的解。 将 i\sqrt{103} 加上 11。

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} 的解。 将 11 减去 i\sqrt{103}。

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-11x+30=16$$

将等式的两边同时减去 30。

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

30 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-11x=16-30$$

将 16 减去 30。

$$4x^{2}-11x=-14$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-14}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{11}{4} 除以 2 得 -\frac{11}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

将 \frac{121}{64} 加上 -\frac{7}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

对 x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

化简。

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{8}。

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$