求解 4x^2+7x+33=0

$$4 x ^ { 2 } + 7 x + 33 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}\approx -0.875+2.735758579i$$

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}\approx -0.875-2.735758579i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+7x+33=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，7 替换 b，并用 33 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

对 7 进行平方运算。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 33}}{2\times 4}$$

求 -16 与 33 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-528}}{2\times 4}$$

将 -528 加上 49。

$$x=\frac{-7±\sqrt{-479}}{2\times 4}$$

取 -479 的平方根。

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8} 的解。 将 i\sqrt{479} 加上 -7。

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8} 的解。 将 -7 减去 i\sqrt{479}。

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+7x+33=0$$

将等式的两边同时减去 33。

$$4x^{2}+7x+33-33=-33$$

33 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+7x=-33$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=-\frac{33}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{33}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{7}{4} 除以 2 得 \frac{7}{8}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{33}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{33}{4}+\frac{49}{64}$$

将 \frac{49}{64} 加上 -\frac{33}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{479}{64}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{479}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{479}{64}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{479}i}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{479}i}{8}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{8}。

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$