求解 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0.75+1.391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0.75-1.391941091i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+6x+10=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，6 替换 b，并用 10 替换 c。

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

对 6 进行平方运算。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

求 -16 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

将 -160 加上 36。

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

取 -124 的平方根。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} 的解。 将 2i\sqrt{31} 加上 -6。

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

-6+2i\sqrt{31} 除以 8。

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} 的解。 将 -6 减去 2i\sqrt{31}。

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

-6-2i\sqrt{31} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+6x+10=0$$

将等式的两边同时减去 10。

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

10 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+6x=-10$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{6}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-10}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{3}{2} 除以 2 得 \frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 -\frac{5}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$