求解 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+6x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，6 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

对 6 进行平方运算。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

将 -16 加上 36。

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

取 20 的平方根。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} 的解。 将 2\sqrt{5} 加上 -6。

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6+2\sqrt{5} 除以 8。

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} 的解。 将 -6 减去 2\sqrt{5}。

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6-2\sqrt{5} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+6x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+6x=-1$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{6}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{3}{2} 除以 2 得 \frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 -\frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

对 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$