求解 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx-81。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -324 的所有此类整数对。

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

计算每对之和。

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

该解答是总和为 48 的对。

$$a=-6 b=54$$

将 4x^{2}+48x-81 改写为 \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)。

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 27 中。

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-3。

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-3=0 和 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+48x-81=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，48 替换 b，并用 -81 替换 c。

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

对 48 进行平方运算。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -81 的乘积。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

将 1296 加上 2304。

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

取 3600 的平方根。

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-48±60}{8} 的解。 将 60 加上 -48。

$$x=\frac{12}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{12}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-48±60}{8} 的解。 将 -48 减去 60。

$$x=-\frac{108}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-108}{8} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{27}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+48x-81=0$$

在等式两边同时加 81。

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

-81 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

将 0 减去 -81。

$$4x^{2}+48x=81$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48 除以 4。

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

将 x 项的系数 12 除以 2 得 6。然后在等式两边同时加上 6 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

对 6 进行平方运算。

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

将 36 加上 \frac{81}{4}。

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

因数 x^{2}+12x+36。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

化简。

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

将等式的两边同时减去 6。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$