求解 4x^2+4x=5

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 5$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx 0.724744871$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}\approx -1.724744871$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+4x=5$$

将等式的两边同时减去 5。

$$4x^{2}+4x-5=5-5$$

5 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+4x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，4 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}$$

将 80 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}$$

取 96 的平方根。

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} 的解。 将 4\sqrt{6} 加上 -4。

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}$$

-4+4\sqrt{6} 除以 8。

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} 的解。 将 -4 减去 4\sqrt{6}。

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}$$

-4-4\sqrt{6} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+4x=5$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}$$

4 除以 4。

$$x^{2}+x=\frac{5}{4}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{5}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$

对 x^{2}+x+\frac{1}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$