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求解 x 的值
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4x^{2}+4x=5
形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解,方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解,一个是当 ± 取加号时的解,另一个是取减号时的解。
4x^{2}+4x-5=5-5
将等式的两边同时减去 5。
4x^{2}+4x-5=0
5 减去它自己得 0。
x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}
此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a,4 替换 b,并用 -5 替换 c。
x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}
对 4 进行平方运算。
x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}
求 -4 与 4 的乘积。
x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}
求 -16 与 -5 的乘积。
x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}
将 80 加上 16。
x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}
取 96 的平方根。
x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}
求 2 与 4 的乘积。
x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}
现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} 的解。 将 4\sqrt{6} 加上 -4。
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}
-4+4\sqrt{6} 除以 8。
x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}
现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} 的解。 将 -4 减去 4\sqrt{6}。
x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
-4-4\sqrt{6} 除以 8。
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
现已求得方程式的解。
4x^{2}+4x=5
这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式,等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。
\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}
两边同时除以 4。
x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}
除以 4 是乘以 4 的逆运算。
x^{2}+x=\frac{5}{4}
4 除以 4。
x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}
对 \frac{1}{2} 进行平方运算,方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}
将 \frac{1}{4} 加上 \frac{5}{4},计算方法是寻找公分母,加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。
\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}
因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来,当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时,它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}
对方程两边同时取平方根。
x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}
化简。
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。