求解 4x^2+4x=1

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 1$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0.207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1.207106781$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+4x=1$$

将等式的两边同时减去 1。

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

1 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+4x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，4 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

将 16 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

取 32 的平方根。

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} 的解。 将 4\sqrt{2} 加上 -4。

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4+4\sqrt{2} 除以 8。

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} 的解。 将 -4 减去 4\sqrt{2}。

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4-4\sqrt{2} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+4x=1$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

4 除以 4。

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$