求解 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx+1。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数, a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 4 的所有此类整数对。

$$1,4 2,2$$

计算每对之和。

$$1+4=5 2+2=4$$

该解答是总和为 4 的对。

$$a=2 b=2$$

将 4x^{2}+4x+1 改写为 \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)。

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

从 4x^{2}+2x 分解出因子 2x。

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x+1。

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

改写为二项式的平方式。

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

要得出公式解答，请对 2x+1=0 求解。

$$x=-\frac{1}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+4x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，4 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

将 -16 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

取 0 的平方根。

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=-\frac{4}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-4}{8} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+4x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+4x=-1$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

4 除以 4。

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -\frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

对 x^{2}+x+\frac{1}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

现已求得方程式的解。 解是相同的。

$$x=-\frac{1}{2}$$