求解 4x^2+2x-8=0

$$4 x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{33} - 1}{4} \approx 1.186140662$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}\approx -1.686140662$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+2x-8=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，2 替换 b，并用 -8 替换 c。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

对 2 进行平方运算。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+128}}{2\times 4}$$

将 128 加上 4。

$$x=\frac{-2±\sqrt{132}}{2\times 4}$$

取 132 的平方根。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8} 的解。 将 2\sqrt{33} 加上 -2。

$$x=\frac{2\sqrt{33}-2}{8}$$

-2+2\sqrt{33} 除以 8。

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8} 的解。 将 -2 减去 2\sqrt{33}。

$$x=\frac{-2\sqrt{33}-2}{8}$$

-2-2\sqrt{33} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+2x-8=0$$

在等式两边同时加 8。

$$4x^{2}+2x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+2x=-\left(-8\right)$$

将 0 减去 -8。

$$4x^{2}+2x=8$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{8}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{8}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{2}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{8}{4}$$

8 除以 4。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=2$$

将 x 项的系数 \frac{1}{2} 除以 2 得 \frac{1}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=2+\frac{1}{16}$$

将 \frac{1}{16} 加上 2。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$