求解 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1.382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4.882491022$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+14x-27=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，14 替换 b，并用 -27 替换 c。

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

对 14 进行平方运算。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -27 的乘积。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

将 432 加上 196。

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

取 628 的平方根。

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} 的解。 将 2\sqrt{157} 加上 -14。

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

-14+2\sqrt{157} 除以 8。

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} 的解。 将 -14 减去 2\sqrt{157}。

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

-14-2\sqrt{157} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+14x-27=0$$

在等式两边同时加 27。

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

将 0 减去 -27。

$$4x^{2}+14x=27$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{14}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{7}{2} 除以 2 得 \frac{7}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

将 \frac{49}{16} 加上 \frac{27}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$