求解 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx-20。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -80 的所有此类整数对。

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

计算每对之和。

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

该解答是总和为 11 的对。

$$a=-5 b=16$$

将 4x^{2}+11x-20 改写为 \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)。

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 4 中。

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 4x-5。

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

若要找到方程解，请解 4x-5=0 和 x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+11x-20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，11 替换 b，并用 -20 替换 c。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

对 11 进行平方运算。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -20 的乘积。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

将 320 加上 121。

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

取 441 的平方根。

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-11±21}{8} 的解。 将 21 加上 -11。

$$x=\frac{10}{8}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{10}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{5}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-11±21}{8} 的解。 将 -11 减去 21。

$$x=-\frac{32}{8}$$

-32 除以 8。

$$x=-4$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+11x-20=0$$

在等式两边同时加 20。

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

将 0 减去 -20。

$$4x^{2}+11x=20$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

20 除以 4。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

将 x 项的系数 \frac{11}{4} 除以 2 得 \frac{11}{8}。然后在等式两边同时加上 \frac{11}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

对 \frac{11}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

将 \frac{121}{64} 加上 5。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

因数 x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

化简。

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

将等式的两边同时减去 \frac{11}{8}。

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$