求解 4t^2-43t-11=0

$$4 t ^ { 2 } - 43 t - 11 = 0$$

求解 t 的值

$$t=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$t=11$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4t^{2}+at+bt-11。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-43 ab=4\left(-11\right)=-44$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -44 的所有此类整数对。

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

计算每对之和。

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

该解答是总和为 -43 的对。

$$a=-44 b=1$$

将 4t^{2}-43t-11 改写为 \left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)。

$$\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)$$

从 4t^{2}-44t 分解出因子 4t。

$$4t\left(t-11\right)+t-11$$

通过使用分布式属性分解出共同项 t-11。

$$\left(t-11\right)\left(4t+1\right)$$

若要找到方程解，请解 t-11=0 和 4t+1=0.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4t^{2}-43t-11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-43 替换 b，并用 -11 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

对 -43 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -11 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+176}}{2\times 4}$$

将 176 加上 1849。

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{2025}}{2\times 4}$$

取 2025 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-43\right)±45}{2\times 4}$$

-43 的相反数是 43。

$$t=\frac{43±45}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$t=\frac{43±45}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{43±45}{8} 的解。 将 45 加上 43。

$$t=\frac{88}{8}$$

88 除以 8。

$$t=11$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{43±45}{8} 的解。 将 43 减去 45。

$$t=-\frac{2}{8}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{8} 降低为最简分数。

$$t=-\frac{1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4t^{2}-43t-11=0$$

在等式两边同时加 11。

$$4t^{2}-43t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 减去它自己得 0。

$$4t^{2}-43t=-\left(-11\right)$$

将 0 减去 -11。

$$4t^{2}-43t=11$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4t^{2}-43t}{4}=\frac{11}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$t^{2}-\frac{43}{4}t=\frac{11}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{43}{4} 除以 2 得 -\frac{43}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{43}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{43}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{11}{4}+\frac{1849}{64}$$

将 \frac{1849}{64} 加上 \frac{11}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{2025}{64}$$

因数 t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{64}}$$

化简。

$$t-\frac{43}{8}=\frac{45}{8} t-\frac{43}{8}=-\frac{45}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{43}{8}。

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$