求解 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

求解 n 的值

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

通过分组进行因式分解的步骤

将方程式两边同时减去 11。

$$4n^{2}-7n-11=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4n^{2}+an+bn-11。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -44 的所有此类整数对。

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

计算每对之和。

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

该解答是总和为 -7 的对。

$$a=-11 b=4$$

将 4n^{2}-7n-11 改写为 \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)。

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

从 4n^{2}-11n 分解出因子 n。

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

通过使用分布式属性分解出共同项 4n-11。

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 4n-11=0 和 n+1=0。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4n^{2}-7n=11$$

将等式的两边同时减去 11。

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 减去它自己得 0。

$$4n^{2}-7n-11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-7 替换 b，并用 -11 替换 c。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

对 -7 进行平方运算。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -11 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

将 176 加上 49。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

取 225 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 的相反数是 7。

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$n=\frac{7±15}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{7±15}{8} 的解。 将 15 加上 7。

$$n=\frac{22}{8}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{22}{8} 降低为最简分数。

$$n=\frac{11}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{7±15}{8} 的解。 将 7 减去 15。

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 除以 8。

$$n=-1$$

现已求得方程式的解。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4n^{2}-7n=11$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{4} 除以 2 得 -\frac{7}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

将 \frac{49}{64} 加上 \frac{11}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

对 n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

化简。

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{8}。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$