求解 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

使用分配律将 4 乘以 x^{2}+2x+1。

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

将 4 减去 169，得到 -165。

$$4x^{2}+8x-165=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx-165。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -660 的所有此类整数对。

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

计算每对之和。

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

该解答是总和为 8 的对。

$$a=-22 b=30$$

将 4x^{2}+8x-165 改写为 \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)。

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 15 中。

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-11。

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-11=0 和 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

使用分配律将 4 乘以 x^{2}+2x+1。

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

将 4 减去 169，得到 -165。

$$4x^{2}+8x-165=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，8 替换 b，并用 -165 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -165 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

将 2640 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

取 2704 的平方根。

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±52}{8} 的解。 将 52 加上 -8。

$$x=\frac{44}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{44}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{11}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±52}{8} 的解。 将 -8 减去 52。

$$x=-\frac{60}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-60}{8} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{15}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

使用分配律将 4 乘以 x^{2}+2x+1。

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

将 4 减去 169，得到 -165。

$$4x^{2}+8x-165=0$$

将 165 添加到两侧。 任何数与零相加其值不变。

$$4x^{2}+8x=165$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

8 除以 4。

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

将 x 项的系数 2 除以 2 得 1。然后在等式两边同时加上 1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

将 1 加上 \frac{165}{4}。

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

因数 x^{2}+2x+1。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

化简。

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

将等式的两边同时减去 1。

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$