求解 4(2x-13)^2-9(2x-13)+2=0

$$4 ( 2 x - 13 ) ^ { 2 } - 9 ( 2 x - 13 ) + 2 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{53}{8} = 6\frac{5}{8} = 6.625$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-13\right)^{2}。

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

使用分配律将 4 乘以 4x^{2}-52x+169。

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

使用分配律将 -9 乘以 2x-13。

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

合并 -208x 和 -18x，得到 -226x。

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

676 与 117 相加，得到 793。

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

793 与 2 相加，得到 795。

$$16x^{2}-226x+795=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 16 替换 a，-226 替换 b，并用 795 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{\left(-226\right)^{2}-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

对 -226 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

求 -4 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-64\times 795}}{2\times 16}$$

求 -64 与 795 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-50880}}{2\times 16}$$

将 -50880 加上 51076。

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{196}}{2\times 16}$$

取 196 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-226\right)±14}{2\times 16}$$

-226 的相反数是 226。

$$x=\frac{226±14}{2\times 16}$$

求 2 与 16 的乘积。

$$x=\frac{226±14}{32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{226±14}{32} 的解。 将 14 加上 226。

$$x=\frac{240}{32}$$

通过求根和消去 16，将分数 \frac{240}{32} 降低为最简分数。

$$x=\frac{15}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{226±14}{32} 的解。 将 226 减去 14。

$$x=\frac{212}{32}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{212}{32} 降低为最简分数。

$$x=\frac{53}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-13\right)^{2}。

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

使用分配律将 4 乘以 4x^{2}-52x+169。

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

使用分配律将 -9 乘以 2x-13。

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

合并 -208x 和 -18x，得到 -226x。

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

676 与 117 相加，得到 793。

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

793 与 2 相加，得到 795。

$$16x^{2}-226x+795=0$$

将方程式两边同时减去 795。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$16x^{2}-226x=-795$$

两边同时除以 16。

$$\frac{16x^{2}-226x}{16}=-\frac{795}{16}$$

除以 16 是乘以 16 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{226}{16}\right)x=-\frac{795}{16}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-226}{16} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{113}{8}x=-\frac{795}{16}$$

将 x 项的系数 -\frac{113}{8} 除以 2 得 -\frac{113}{16}。然后在等式两边同时加上 -\frac{113}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}=-\frac{795}{16}+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}$$

对 -\frac{113}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=-\frac{795}{16}+\frac{12769}{256}$$

将 \frac{12769}{256} 加上 -\frac{795}{16}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=\frac{49}{256}$$

因数 x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

化简。

$$x-\frac{113}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{113}{16}=-\frac{7}{16}$$

在等式两边同时加 \frac{113}{16}。

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$