求解 4z^2+60z=600

$$4 { z }^{ 2 } +60z = 600$$

求解 z 的值

$$z = \frac{5 \sqrt{33} - 15}{2} \approx 6.861406616$$

$$z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}\approx -21.861406616$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4z^{2}+60z=600$$

将等式的两边同时减去 600。

$$4z^{2}+60z-600=600-600$$

600 减去它自己得 0。

$$4z^{2}+60z-600=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，60 替换 b，并用 -600 替换 c。

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

对 60 进行平方运算。

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -600 的乘积。

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+9600}}{2\times 4}$$

将 9600 加上 3600。

$$z=\frac{-60±\sqrt{13200}}{2\times 4}$$

取 13200 的平方根。

$$z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8} 的解。 将 20\sqrt{33} 加上 -60。

$$z=\frac{20\sqrt{33}-60}{8}$$

-60+20\sqrt{33} 除以 8。

$$z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8} 的解。 将 -60 减去 20\sqrt{33}。

$$z=\frac{-20\sqrt{33}-60}{8}$$

-60-20\sqrt{33} 除以 8。

$$z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4z^{2}+60z=600$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{600}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{600}{4}$$

60 除以 4。

$$z^{2}+15z=\frac{600}{4}$$

600 除以 4。

$$z^{2}+15z=150$$

将 x 项的系数 15 除以 2 得 \frac{15}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{15}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=150+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{15}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=150+\frac{225}{4}$$

将 \frac{225}{4} 加上 150。

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{825}{4}$$

对 z^{2}+15z+\frac{225}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{825}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{825}{4}}$$

化简。

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{33}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{33}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{15}{2}。

$$z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$