求解 4x^2-4x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx-3。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -12 的所有此类整数对。

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

计算每对之和。

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

该解答是总和为 -4 的对。

$$a=-6 b=2$$

将 4x^{2}-4x-3 改写为 \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)。

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

从 4x^{2}-6x 分解出因子 2x。

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-3。

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 2x-3=0 和 2x+1=0。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-4x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-4 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

将 48 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

取 64 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{4±8}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±8}{8} 的解。 将 8 加上 4。

$$x=\frac{12}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{12}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±8}{8} 的解。 将 4 减去 8。

$$x=-\frac{4}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-4}{8} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-4x-3=0$$

在等式两边同时加 3。

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

将 0 减去 -3。

$$4x^{2}-4x=3$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

-4 除以 4。

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{3}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

对 x^{2}-x+\frac{1}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$