求解 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2.561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1.561552813$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-4x-16=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-4 替换 b，并用 -16 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -16 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

将 256 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

取 272 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} 的解。 将 4\sqrt{17} 加上 4。

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

4+4\sqrt{17} 除以 8。

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} 的解。 将 4 减去 4\sqrt{17}。

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

4-4\sqrt{17} 除以 8。

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-4x-16=0$$

在等式两边同时加 16。

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

将 0 减去 -16。

$$4x^{2}-4x=16$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

-4 除以 4。

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

16 除以 4。

$$x^{2}-x=4$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 4。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$