求解 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx-15。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -60 的所有此类整数对。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

计算每对之和。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

该解答是总和为 -4 的对。

$$a=-10 b=6$$

将 4x^{2}-4x-15 改写为 \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)。

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-5。

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-5=0 和 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-4x-15=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-4 替换 b，并用 -15 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -15 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

将 240 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

取 256 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{4±16}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±16}{8} 的解。 将 16 加上 4。

$$x=\frac{20}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{20}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±16}{8} 的解。 将 4 减去 16。

$$x=-\frac{12}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-12}{8} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-4x-15=0$$

在等式两边同时加 15。

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

将 0 减去 -15。

$$4x^{2}-4x=15$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4 除以 4。

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{15}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$