求解 4x^2-13x+7leq0

$$4 { x }^{ 2 } -13x+7 \leq 0$$

求解 x 的值

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\end{bmatrix}$$

运用二次公式的步骤

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$4x^{2}-13x+7=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 -13 替换 b、用 7 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$x=\frac{13±\sqrt{57}}{8}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{13±\sqrt{57}}{8} 的解。

$$x=\frac{\sqrt{57}+13}{8} x=\frac{13-\sqrt{57}}{8}$$

使用获取的解改写不等式。

$$4\left(x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\right)\left(x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\right)\leq 0$$

要使积 ≤0，x-\frac{\sqrt{57}+13}{8} 和 x-\frac{13-\sqrt{57}}{8} 的值必须一个 ≥0，另一个 ≤0。 考虑 x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\geq 0 和 x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\leq 0 的情况。

$$x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\geq 0 x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\leq 0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\leq 0 和 x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\geq 0 的情况。

$$x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\geq 0 x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\leq 0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left[\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\right]。

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\end{bmatrix}$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\end{bmatrix}$$