求解 4x^2+13x+5=0

$$4 { x }^{ 2 } +13x+5=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}\approx -0.445752358$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}\approx -2.804247642$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+13x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，13 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

对 13 进行平方运算。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-16\times 5}}{2\times 4}$$

求 -16 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-80}}{2\times 4}$$

将 -80 加上 169。

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} 的解。 将 \sqrt{89} 加上 -13。

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} 的解。 将 -13 减去 \sqrt{89}。

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}+13x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$4x^{2}+13x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$4x^{2}+13x=-5$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+13x}{4}=-\frac{5}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{5}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{13}{4} 除以 2 得 \frac{13}{8}。然后在等式两边同时加上 \frac{13}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

对 \frac{13}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{64}$$

将 \frac{169}{64} 加上 -\frac{5}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{89}{64}$$

因数 x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{89}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{64}}$$

化简。

$$x+\frac{13}{8}=\frac{\sqrt{89}}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{\sqrt{89}}{8}$$

将等式的两边同时减去 \frac{13}{8}。

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$