求解 4psi^2-2=3psi(psi+1)+6

$$4 \psi ^ { 2 } - 2 = 3 \psi ( \psi + 1 ) + 6$$

求解 ψ 的值

$$\psi =\frac{\sqrt{41}+3}{2}\approx 4.701562119$$

$$\psi =\frac{3-\sqrt{41}}{2}\approx -1.701562119$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 3\psi 乘以 \psi +1。

$$4\psi ^{2}-2=3\psi ^{2}+3\psi +6$$

将方程式两边同时减去 3\psi ^{2}。

$$4\psi ^{2}-2-3\psi ^{2}=3\psi +6$$

合并 4\psi ^{2} 和 -3\psi ^{2}，得到 \psi ^{2}。

$$\psi ^{2}-2=3\psi +6$$

将方程式两边同时减去 3\psi 。

$$\psi ^{2}-2-3\psi =6$$

将方程式两边同时减去 6。

$$\psi ^{2}-2-3\psi -6=0$$

将 -2 减去 6，得到 -8。

$$\psi ^{2}-8-3\psi =0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$\psi ^{2}-3\psi -8=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-3 替换 b，并用 -8 替换 c。

$$\psi =\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-8\right)}}{2}$$

对 -3 进行平方运算。

$$\psi =\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-8\right)}}{2}$$

求 -4 与 -8 的乘积。

$$\psi =\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+32}}{2}$$

将 32 加上 9。

$$\psi =\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{41}}{2}$$

-3 的相反数是 3。

$$\psi =\frac{3±\sqrt{41}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 \psi =\frac{3±\sqrt{41}}{2} 的解。 将 \sqrt{41} 加上 3。

$$\psi =\frac{\sqrt{41}+3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 \psi =\frac{3±\sqrt{41}}{2} 的解。 将 3 减去 \sqrt{41}。

$$\psi =\frac{3-\sqrt{41}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$\psi =\frac{\sqrt{41}+3}{2} \psi =\frac{3-\sqrt{41}}{2}$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 3\psi 乘以 \psi +1。

$$4\psi ^{2}-2=3\psi ^{2}+3\psi +6$$

将方程式两边同时减去 3\psi ^{2}。

$$4\psi ^{2}-2-3\psi ^{2}=3\psi +6$$

合并 4\psi ^{2} 和 -3\psi ^{2}，得到 \psi ^{2}。

$$\psi ^{2}-2=3\psi +6$$

将方程式两边同时减去 3\psi 。

$$\psi ^{2}-2-3\psi =6$$

将 2 添加到两侧。

$$\psi ^{2}-3\psi =6+2$$

6 与 2 相加，得到 8。

$$\psi ^{2}-3\psi =8$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$\psi ^{2}-3\psi +\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=8+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$\psi ^{2}-3\psi +\frac{9}{4}=8+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 8。

$$\psi ^{2}-3\psi +\frac{9}{4}=\frac{41}{4}$$

因数 \psi ^{2}-3\psi +\frac{9}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(\psi -\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(\psi -\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

化简。

$$\psi -\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} \psi -\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$\psi =\frac{\sqrt{41}+3}{2} \psi =\frac{3-\sqrt{41}}{2}$$