求解 32x^2+250x-1925=0

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4.77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12.59043327$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 32 替换 a，250 替换 b，并用 -1925 替换 c。

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

对 250 进行平方运算。

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

求 -4 与 32 的乘积。

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

求 -128 与 -1925 的乘积。

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

将 246400 加上 62500。

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

取 308900 的平方根。

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

求 2 与 32 的乘积。

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} 的解。 将 10\sqrt{3089} 加上 -250。

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

-250+10\sqrt{3089} 除以 64。

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} 的解。 将 -250 减去 10\sqrt{3089}。

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

-250-10\sqrt{3089} 除以 64。

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

在等式两边同时加 1925。

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

-1925 减去它自己得 0。

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

将 0 减去 -1925。

$$32x^{2}+250x=1925$$

两边同时除以 32。

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

除以 32 是乘以 32 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{250}{32} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

将 x 项的系数 \frac{125}{16} 除以 2 得 \frac{125}{32}。然后在等式两边同时加上 \frac{125}{32} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

对 \frac{125}{32} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

将 \frac{15625}{1024} 加上 \frac{1925}{32}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

因数 x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

化简。

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

将等式的两边同时减去 \frac{125}{32}。

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$