求解 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

求解 t 的值

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9.933333333+1.152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9.933333333-1.152774431i$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(t+10\right)^{2}。

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

使用分配律将 225 乘以 t^{2}+20t+100。

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

将方程式两边同时减去 225t^{2}。

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

将方程式两边同时减去 4500t。

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

合并 30t 和 -4500t，得到 -4470t。

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

将方程式两边同时减去 22500。

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -225 替换 a，-4470 替换 b，并用 -22500 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

对 -4470 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

求 -4 与 -225 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

求 900 与 -22500 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

将 -20250000 加上 19980900。

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

取 -269100 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

-4470 的相反数是 4470。

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

求 2 与 -225 的乘积。

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} 的解。 将 30i\sqrt{299} 加上 4470。

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

4470+30i\sqrt{299} 除以 -450。

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} 的解。 将 4470 减去 30i\sqrt{299}。

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

4470-30i\sqrt{299} 除以 -450。

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(t+10\right)^{2}。

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

使用分配律将 225 乘以 t^{2}+20t+100。

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

将方程式两边同时减去 225t^{2}。

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

将方程式两边同时减去 4500t。

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

合并 30t 和 -4500t，得到 -4470t。

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

两边同时除以 -225。

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

除以 -225 是乘以 -225 的逆运算。

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

通过求根和消去 15，将分数 \frac{-4470}{-225} 降低为最简分数。

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

22500 除以 -225。

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

将 x 项的系数 \frac{298}{15} 除以 2 得 \frac{149}{15}。然后在等式两边同时加上 \frac{149}{15} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

对 \frac{149}{15} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

将 \frac{22201}{225} 加上 -100。

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

因数 t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

化简。

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

将等式的两边同时减去 \frac{149}{15}。

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$