求解 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

因式分解

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

求解步骤

将同类项相乘并合并。

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

若要因式分解表达式，请求解等于 0 的方程式。

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -16，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-4$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 除以 x+4 得 3x^{3}+12x^{2}-x-4。 若要因式分解结果，请求解等于 0 的方程式。

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -4，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-4$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{3}+12x^{2}-x-4 除以 x+4 得 3x^{2}-1。 若要因式分解结果，请求解等于 0 的方程式。

$$3x^{2}-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 3、用 0 替换 b、用 -1 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

完成计算。

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 3x^{2}-1=0 的解。

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

使用得出的根重写因式分解表达式。 不因式分解多项式 3x^{2}-1，因为它没有任何有理数。

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

求值

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

求解步骤

合并 48x^{2} 和 -x^{2}，得到 47x^{2}。

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$