求解 3x^3+4x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\approx -1.618033989$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -1，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-\frac{1}{3}$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{3}+4x^{2}-2x-1 除以 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1 得 x^{2}+x-1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}+x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 1 替换 b、用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x^{2}+x-1=0 的解。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-\frac{1}{3} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$