求解 3x^2-x-12=0

$$3 x ^ { 2 } - x - 12 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{145} + 1}{6} \approx 2.173599096$$

$$x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}\approx -1.840265763$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-x-12=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-1 替换 b，并用 -12 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -12 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+144}}{2\times 3}$$

将 144 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{145}}{2\times 3}$$

-1 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±\sqrt{145}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{1±\sqrt{145}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±\sqrt{145}}{6} 的解。 将 \sqrt{145} 加上 1。

$$x=\frac{\sqrt{145}+1}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±\sqrt{145}}{6} 的解。 将 1 减去 \sqrt{145}。

$$x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{145}+1}{6} x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-x-12=0$$

在等式两边同时加 12。

$$3x^{2}-x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-x=-\left(-12\right)$$

将 0 减去 -12。

$$3x^{2}-x=12$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{12}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{12}{3}$$

12 除以 3。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=4$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{3} 除以 2 得 -\frac{1}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=4+\frac{1}{36}$$

将 \frac{1}{36} 加上 4。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{145}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{145}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{145}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{145}}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{145}}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{145}+1}{6} x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}$$