求解 3x^2-8x-17=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 17 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{67} + 4}{3} \approx 4.061784257$$

$$x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}\approx -1.395117591$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-8x-17=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-8 替换 b，并用 -17 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

对 -8 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -17 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+204}}{2\times 3}$$

将 204 加上 64。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{268}}{2\times 3}$$

取 268 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{67}}{2\times 3}$$

-8 的相反数是 8。

$$x=\frac{8±2\sqrt{67}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6} 的解。 将 2\sqrt{67} 加上 8。

$$x=\frac{2\sqrt{67}+8}{6}$$

8+2\sqrt{67} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6} 的解。 将 8 减去 2\sqrt{67}。

$$x=\frac{8-2\sqrt{67}}{6}$$

8-2\sqrt{67} 除以 6。

$$x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-8x-17=0$$

在等式两边同时加 17。

$$3x^{2}-8x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

-17 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-8x=-\left(-17\right)$$

将 0 减去 -17。

$$3x^{2}-8x=17$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{17}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{17}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{8}{3} 除以 2 得 -\frac{4}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{4}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{17}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{4}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{17}{3}+\frac{16}{9}$$

将 \frac{16}{9} 加上 \frac{17}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{67}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{67}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{67}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{67}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{67}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{4}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$