求解 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

求解 x 的值

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx+4。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值, 所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 12 的所有此类整数对。

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

计算每对之和。

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

该解答是总和为 -7 的对。

$$a=-4 b=-3$$

将 3x^{2}-7x+4 改写为 \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)。

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 -1 中。

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-4。

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 3x-4=0 和 x-1=0。

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-7x+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-7 替换 b，并用 4 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

对 -7 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

求 -12 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

将 -48 加上 49。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

-7 的相反数是 7。

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{7±1}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{7±1}{6} 的解。 将 1 加上 7。

$$x=\frac{8}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{8}{6} 降低为最简分数。

$$x=\frac{4}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{7±1}{6} 的解。 将 7 减去 1。

$$x=\frac{6}{6}$$

6 除以 6。

$$x=1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-7x+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-7x=-4$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{3} 除以 2 得 -\frac{7}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

将 \frac{49}{36} 加上 -\frac{4}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

对 x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{6}。

$$x=\frac{4}{3} x=1$$