求解 3x^2-7x+10=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 10 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{6}\approx 1.166666667+1.404358296i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{6}\approx 1.166666667-1.404358296i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-7x+10=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-7 替换 b，并用 10 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

对 -7 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 10}}{2\times 3}$$

求 -12 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-120}}{2\times 3}$$

将 -120 加上 49。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-71}}{2\times 3}$$

取 -71 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{71}i}{2\times 3}$$

-7 的相反数是 7。

$$x=\frac{7±\sqrt{71}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{7±\sqrt{71}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{71}i}{6} 的解。 将 i\sqrt{71} 加上 7。

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{71}i}{6} 的解。 将 7 减去 i\sqrt{71}。

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{6} x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-7x+10=0$$

将等式的两边同时减去 10。

$$3x^{2}-7x+10-10=-10$$

10 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-7x=-10$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{10}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{10}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{3} 除以 2 得 -\frac{7}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

将 \frac{49}{36} 加上 -\frac{10}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{71}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{71}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{71}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{71}i}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{6}。

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{6} x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{6}$$